本文翻译自 SEP 数学哲学 条目
如果数学被视为一门科学，那么数学哲学可以被视为科学哲学的一个分支，仅次于物理哲学和生物学哲学等学科。然而，由于其主题，数学哲学在科学哲学中占有特殊地位。虽然自然科学研究位于空间和时间中的实体，但很明显，这并不是数学研究的对象。除此之外，数学研究的方法与自然科学研究的方法有着显著的不同。后者使用归纳法获得普遍知识，而数学知识似乎是以另一种方式获得的：从基本原理推导。数学知识的地位似乎也不同于自然科学知识的地位。与数学理论相比，自然科学的理论似乎不那么确定，更容易修改。由于这些原因，数学为哲学提出了一类非常独特的问题。因此，哲学家们特别关注与数学有关的本体论和认识论问题。
数学哲学、逻辑和数学基础
一方面，数学哲学关注的问题与形而上学和认识论的核心问题密切相关。乍一看，数学似乎是研究抽象实体的。这让人想知道数学实体的本质是什么，以及我们如何获得数学实体的知识。如果这些问题被认为是难以解决的，那么人们可能会试图看看数学对象究竟是否可以以某种方式归属于具体世界。
另一方面，事实证明，在某种程度上，将数学方法应用于与数学有关的哲学问题是可能的。这样做的背景是数理逻辑，其被广泛地认为包括证明理论、模型理论、集合论和可计算性理论作为子领域。因此，二十世纪见证了关于数学本质的哲学理论的数学研究。
当专业数学家关心他们学科的基础时，他们被称为从事基础研究。当专业哲学家研究与数学有关的哲学问题时，就说他们对数学哲学做出了贡献。当然，数学哲学和数学基础之间的区别是模糊的，哲学家和数学家在研究与数学本质有关的问题时互动越多越好。
四种学派
19世纪的普遍哲学和科学观倾向于经验主义：理性主义数学理论的柏拉图主义方面正在迅速失去支持。尤其是一度受到高度赞扬的理性直觉思维能力受到了怀疑。因此，构建一个没有柏拉图主义元素的数学哲学理论成为一个挑战。在二十世纪的前几十年，发展出了三种非柏拉图主义的数学解释：逻辑主义、形式主义和直觉主义。在二十世纪初，还出现了第四种：直谓主义。由于偶然的历史环境，它真正的潜力直到20世纪60年代才被挖掘出来。然而，它值得与当代最标准的数学哲学导论中讨论的三个传统学派并驾齐驱。
逻辑主义
逻辑主义者的方案在于试图将数学简化为逻辑。由于逻辑学被认为在关于本体论的问题中是中立的，这个方案似乎与当时的反柏拉图主义氛围相协调。
数学是伪装的逻辑的观点可以追溯到 Leibniz。但是，直到19世纪，核心数学理论的基本原理被戴德金和皮亚诺阐明，逻辑学原理被弗雷格揭示，此时才能认真详细地执行逻辑主义者的方案。
弗雷格的职业生涯大部分时间都致力于展示如何将数学简化为逻辑。他设法从二阶逻辑系统的基本定律推导出（二阶）皮亚诺算法的原理。他的推导是完美的。然而，他依靠了一个被证明是不合乎逻辑的原理。更糟糕的是，这个原理站不住脚的。所讨论的原理是弗雷格的基本法五：
{x Fx} = {x Gx} if and only if ∀x(Fx≡Gx),
换句话说：如果 Fs 等同于 Gs，则 Fs 的集合与 Gs 的集合是相同的。
罗素在给弗雷格的一封著名的信中，表明弗雷格的基本法第五条包含了一个矛盾。这个论点被称为罗素悖论。
然后，罗素试图用另一种方式将数学简化为逻辑。弗雷格的基本法五规定，对应于数学实体的每个属性，存在一类具有该属性的数学实体。这显然太强了，因为正是这个结果导致了罗素悖论。所以罗素假设，只有已经被证明存在的数学对象的属性，才能决定类。隐式引用要确定此类类是否存在的类的谓词不能确定类。这样就得到了一个类型化的属性结构：基础对象的属性、基础对象和基础对象的类的属性等等。这种类型化的属性结构决定了数学对象的分层体系，从基础对象开始，到基础对象类，再到基础对象和基础对象类的类，依此类推。
不幸的是，罗素发现他的类型逻辑的原理甚至不足以推导算术的基本定律。除其他事项外，他需要确立一个基本原则，即存在无限多的基础对象。这很难被视为合乎逻辑的原则。因此，将数学简化为逻辑的第二次尝试也失败了。
这些事情持续了50多年。1983年，克里斯平·赖特（Crispin Wright）出版了一本关于弗雷格自然数理论的书。在书中，赖特为逻辑主义注入了新的活力。他观察到，弗雷格对二阶皮亚诺算法的推导可以分为两个阶段。在第一个阶段，弗雷格使用不一致的基本法五推导出被称为休谟原理的东西：
Fs 的数量 = Gs 的数量 当且仅当 F≈G,
这里 F≈G 这意味着 Fs 和 Gs 彼此一一对应。（这种一对一的对应关系可以用二阶逻辑表示。）然后，在第二阶段，从休谟原理和公认的二阶逻辑原理推导出二阶皮亚诺算法的原理。特别是，推导的第二部分不需要基本法五。此外，赖特推测，与弗雷格的基本法五相比，休谟的原则是一致的。乔治·布洛斯和其他人观察到休谟的原则确实是一致的。
赖特继续声称休谟的原则可以被视为逻辑的真理。如果是这样的话，那么至少二阶皮亚诺算法可以简化为逻辑。于是，一种新形式的逻辑主义诞生了；今天，这种观点被称为新逻辑主义。今天，大多数数学哲学家都怀疑休谟原理是逻辑原理。事实上，就连赖特后来也试图对这一说法加以限定。尽管如此，许多数学哲学家认为，从本体论和认识论的角度来看，通过休谟原理引入自然数是有吸引力的。林内博（Linnebo）认为，因为休谟原理的左边只是重新刻画了右边的内容，所以不需要从世界上获得太多东西来实现休谟原理。因此，他将自然数和可以以类似方式引入的数学对象称为轻数学对象。
赖特的著作引起了数学哲学家们对这类原理的关注，其中基本法五和休谟原理就是例子。这些原则被称为抽象原则。目前，数学哲学家试图构建抽象原则的一般理论，解释哪些抽象原则是可接受的，哪些是不可接受的，以及为什么。此外，在二阶逻辑被削弱的背景下，弗雷格的基本法五是一致的。但这些薄弱的背景理论只允许从基本法五中推导出非常薄弱的算术理论。
直觉主义
直觉主义起源于数学家L.E.J.布鲁沃（L.E.J.Brouwer）的工作，它的灵感来自康德关于物体是什么的观点。根据直觉主义，数学本质上是一种建构活动。自然数是心理构造，实数是心理构造，证明和定理是心理构造，数学意义是心理构造……数学构造是由数学家想象产生的，也就是说，抽象是从现实生活中数学家的偶然的和物理的限制中产生的。但即使是想象中的数学家也仍然是有限的。她永远无法完成一个无限结构，即使她可以完成任意大的有限初始部分。这意味着直觉主义坚决拒绝现实（或完整的）无限的存在；在构建活动中，只给出了潜在的无限集合。一个基本的例子是单个自然数在时间上的连续构造。
从这些关于数学本质的一般思考中，基于人类思维的条件，直觉主义者推断出逻辑和数学中的修正主义立场。他们认为非构造性的存在证明是不可接受的。非构造性存在性证明是一种证明，其目的是证明一个数学实体的存在性，该数学实体具有特定的属性，甚至没有隐式包含生成此类实体示例的方法。直觉主义拒绝将非建构性的存在证明视为“神学”和“形而上学”。非构造性存在证明的特点是，它们基本上利用了排中律
ϕ∨¬ϕ,
或者它的一个等价物，比如双重否定原理
¬¬ϕ→ϕ
在古典逻辑中，这些原则是有效的。直觉数学的逻辑是通过从经典逻辑中去除排中律（及其等价物）而得到的。这当然会导致数学知识的修正。例如，经典的初等算术理论，即皮亚诺算术，已不再被接受。相反，本文提出了一种直观的算术理论（称为Heyting算术），它不包含排中律。虽然直觉初等算术比经典初等算术弱，但差别并不大。存在一个简单的语法翻译，它将所有经典的算术定理翻译成直观可证明的定理。
在20世纪的前几十年，数学界的一些人对古典数学的直觉主义批判及其提出的替代方案表示同情。在高阶数学中，直觉选择与经典理论有很大不同，这一点很明显，这种情况发生了变化。例如，直觉数学分析是一个相当复杂的理论，它与经典数学分析有很大不同。这削弱了数学界对直觉工程的热情。尽管如此，布鲁沃的追随者至今仍在继续发展直觉数学。
形式主义
| 大卫·希尔伯特赞同直觉主义者的观点，认为自然数在数学中是基本的。但与直觉主义者不同的是，希尔伯特并没有将自然数视为心理结构。相反，他认为自然数可以被视为符号。严格来说，符号是抽象的对象。尽管如此，符号可以通过具体的物体来体现，这一点至关重要，因此我们可以称之为准具体的物体。也许物理实体可以扮演自然数的角色。例如，我们可以将形式为 | 的具体墨迹作为数字0，将具体实现的墨迹 | 作为数字1，依此类推。希尔伯特认为，高阶数学能否以同样直截了当甚至具体的方式直接解释最多让人怀疑。 |
与直觉主义者不同，希尔伯特不准备对现有的数学知识体系采取修正主义立场。相反，他在高阶数学方面采取了工具主义立场。他认为高阶数学不过是一种形式化的游戏。高阶数学的陈述是不令人惊讶的符号串。证明这种说法无异于一场游戏，在游戏中，符号是根据固定的规则被操纵的。在希尔伯特看来，“高阶数学游戏”的重点在于证明初等算术的陈述，这些陈述确实有直接的解释。
希尔伯特认为，对于经典的皮亚诺算法的可靠性，或者至少对于它的一个子系统，即原始递归算法的可靠性，没有合理的质疑。他认为，每一个可以通过绕道高阶数学证明的算术陈述，也可以通过皮亚诺算术直接证明。事实上，他强烈怀疑初等算术的每一个问题都可以由皮亚诺算术的公理来决定。当然，在某些情况下，用算术解决算术问题实际上是不可能的。数学史表明，在高阶数学中“绕道”有时可以得到一个算术语句的证明，该证明比同一语句的任何纯算术证明都要短得多，提供了更多的洞察力。
希尔伯特意识到，尽管有些模糊，他的一些信念实际上可以被认为是数学猜想。因为在高阶数学或初等算术的形式系统中，证明是一个有限的组合对象，它可以被认为是一个自然数。但在20世纪20年代，人们还没有完全理解将证明编码为自然数的细节。
从形式主义的观点来看，高阶数学形式系统的一个最低要求是它们至少是一致的。否则，初等算术的每一条语句都可以用它们来证明。希尔伯特还（再一次，模糊地）看到，高阶数学系统的一致性意味着这个系统至少在算术上是合理的。所以希尔伯特和他的学生们开始证明数学分析标准假设的一致性。当然，这些陈述必须在数学的“安全”部分得到证明，比如初等算术。否则，证明并不能增加我们对数学分析一致性的信心。幸运的是，这在原则上似乎是可能的，因为归根结底，一致性语句也是模编码的算术语句。因此，准确地说，希尔伯特和他的学生们开始证明经典皮亚诺算法中数学分析公理的一致性。这个项目被称为希尔伯特计划。结果比他们预想的要困难得多。事实上，他们甚至没有成功地证明皮亚诺算术公理在皮亚诺算术中的一致性。
然后库尔特·哥德尔证明了在皮亚诺算术中存在不可判定的算术语句。这被称为哥德尔第一个不完全性定理。这对希尔伯特的计划来说不是一个好兆头，但它留下了一个可能性，即高阶数学的一致性不是这些不可判定的陈述之一。不幸的是，哥德尔很快意识到，除非（上帝禁止！）皮亚诺算法是不一致的，皮亚诺算法的一致性与皮亚诺算法无关。这是哥德尔的第二个不完全性定理。哥德尔的不完全性定理通常适用于所有足够强但一致的递归公理化理论。总之，这意味着希尔伯特的计划失败了。事实证明，高阶数学不能用纯工具的方式来解释。高阶数学可以证明算术句子，比如一致性陈述，这是皮亚诺算术无法做到的。
所有这些并不意味着形式主义的终结。即使在面对不完全性定理时，坚持数学是形式系统的科学也是一致的。
库里（Curry）提出了这一观点的一个版本。在这种观点下，数学由一系列没有解释或主题的形式系统组成。（在库里这里元数学是一个例外。）相对于一个正式的系统，我们可以说一个语句是真的当且仅当它在系统中是可导的。但从根本上讲，所有的数学系统都是一样的。选择一种制度甚于另一种制度，最多有一些实际原因。不一致的系统可以证明所有的陈述，因此是非常无用的。因此，当发现系统不一致时，必须对其进行修改。这仅仅是哥德尔不完全性定理的一个教训，即一个足够强的一致性系统无法证明其自身的一致性。
对于库里的形式主义立场，有一种典型的反对意见。事实上，数学家并没有把所有显然一致的形式系统视为同等的。他们中的大多数人都不愿意承认，例如，对于表示皮亚诺算术一致性的算术句子是可推导的算术系统，相对于其否定是可推导的算术系统，这种偏好最终可以用纯粹的语用术语来解释。许多数学家认为，某些形式系统的正确性（不正确性）最终必须由它们正确（不正确）描述某些主题的事实来解释。
Detlefsen强调，不完全性定理并不排除在实践中用于解决数学家感兴趣的算术问题的高阶数学部分的一致性可以通过算术建立。从这个意义上说，即使希尔伯特对所有高等数学的工具主义立场最终站不住脚，也有可能从中获得一些东西。
艾萨克森（Isaacson）曾试图挽救希尔伯特计划的一部分。他为这样一种观点辩护，即在某种意义上，皮亚诺算法可能终究是完整的。他认为，在皮亚诺算术中不可判定的真正句子只能通过高阶概念来证明。例如，皮亚诺算法的一致性可以通过归纳到超限序数来证明。但序数的概念是集合论的，因此是非算术的概念。如果证明算术一致性的唯一方法基本上使用了可以证明属于高阶数学的概念，那么算术一致性，即使可以用皮亚诺算术的语言来表达，也是一个非算术问题。从这一点概括起来，我们可能会想，希尔伯特关于每一个算术问题都可以由皮亚诺算术公理决定的猜想是否仍然成立。
直谓主义
如前所述，直谓主义通常不被描述为一种学派。但仅仅是出于偶然的原因，在第二次世界大战到来之前，直谓主义并没有上升到其他学派的显著水平。
直谓主义起源于罗素的著作。在庞加莱的暗示下，他得出了以下罗素悖论的诊断。罗素悖论的论点定义了所有满足¬x∈x的数学实体的集合C。然后，论证继续问C本身是否满足这个条件，并得出一个矛盾。
庞加莱-罗素对这个论点的诊断表明，这个定义根本没有挑选出一个集合：不可能通过隐式引用S本身的条件来定义集合S。这就是所谓的恶性循环原则。违反恶性循环原则的定义称为不明确。集合的合理定义仅指独立于已定义集合而存在的实体。这种定义被称为谓词。正如哥德尔后来指出的那样，柏拉图主义者会发现这条推理路线不可信。如果数学集合独立于定义行为而存在，那么目前还不清楚为什么不能存在只能不明确定义的集合。
所有这一切促使罗素发展了简单而分支的类型理论，在该理论中，句法限制被建立起来，使得非说明性定义的格式不正确。在简单类型理论中，定义公式的自由变量的范围超过了要定义的集合不属于的实体。在分支类型理论中，除此之外，还要求定义公式的绑定变量范围不包括要定义的集合。第2.1节指出，罗素的类型理论不能被视为数学到逻辑的简化。但除此之外，人们很早就注意到，尤其是在分支类型理论中，将普通数学论点形式化太麻烦了。
当罗素转向分析哲学的其他领域时，赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）提出了直谓主义的观点。和庞加莱一样，韦尔并不赞同罗素将数学简化为逻辑的愿望。从一开始，他就看到，在实践中，用一种分支类型的理论是不可能的。韦尔发展了一种介于直觉主义和柏拉图主义之间的哲学立场。他认为自然数的集合是毫无问题的。但自然数的任意子集的概念并没有在数学直觉中立即给出。只有那些由算术（即一阶）谓词确定的子集才被视为谓词上可接受。
一方面，数学分析中的许多标准定义是不明确的。例如，集合上的一个运算的最小闭包通常被定义为在该运算的应用下闭合的所有集合的交集。但最小闭包本身是在该操作的应用下被关闭的集合之一。因此，这个定义是不明确的。这样一来，人们的注意力逐渐从对理论悖论的关注转移到主流数学中不确定性的作用上。另一方面，韦尔表明，通常可以绕过不明确的概念。甚至有迹象表明，19世纪的大多数主流数学分析都可以在预测的基础上得到证实。
20世纪20年代，历史介入。韦尔被布鲁沃更激进的直觉主义方案说服了。与此同时，数学家们开始相信，康托和策梅洛提出的高度不确定的超限集理论，受到罗素悖论的威胁比之前怀疑的要小。这些因素导致直谓主义在几十年中陷入休眠状态。
在广义递归理论的基础上，所罗门·费弗曼在20世纪60年代扩展了直谓主义项目。他意识到韦尔的策略可以迭代到超限。此外，那些可以通过量化韦尔认为是谓词合理的集合来定义的数字集合，应该被计算为是谓词上可接受的集合，以此类推。这个过程可以沿着顺序路径传播。这个序数路径延伸到超限，正如谓词序数所到达的那样，其中一个序数是谓词的，如果它测量的是自然数的可证明良好顺序的长度。这种由费弗曼和舒特提出的预测数学强度的校准，如今已被广泛接受。费弗曼随后调查了在一个预测论框架内可以进行多少标准数学分析。费弗曼和其他人（最著名的是哈维·弗里德曼）的研究表明，从直谓主义的角度来看，20世纪的大多数分析都是可以接受的。但同样清楚的是，并不是所有被数学界普遍接受的当代数学都能从直谓主义的角度被接受：超限集理论就是一个很好的例子。
柏拉图主义
在第二次世界大战之前的几年里，很明显，数学哲学中的三个反柏拉图主义都遭到了强烈的反对。直谓主义或许是一个例外，但它在当时是一个没有捍卫者的方案。因此，人们对柏拉图主义关于数学本质的观点的前景产生了新的兴趣。在柏拉图的概念上，数学的主题是由抽象实体组成的。
哥德尔的柏拉图主义
在数学对象和数学概念方面，哥德尔是一位柏拉图主义者。但他的柏拉图主义观点比普通的数学家更为复杂。
哥德尔认为，一方面，数学对象和概念的合理理论与另一方面，物理对象和属性的合理理论之间存在着强烈的平行性。与物理对象和属性一样，数学对象和概念不是由人类构建的。与物理对象和属性一样，数学对象和概念也不能简化为心理实体。数学对象和概念与物理对象和属性一样客观。数学对象和概念，就像物理对象和属性一样，是为了获得一个关于我们经验的令人满意的理论而假定的。事实上，在某种程度上类似于我们对物理对象和属性的感知关系，通过数学直觉，我们与数学对象和概念处于准感知关系中。我们对物理对象和概念的感知是容易出错的，可以纠正。同样地，数学直觉也不是万无一失的——正如弗雷格的基本法五的历史所表明的那样——但它可以得到训练和改进。与物理对象和属性不同，数学对象不存在于空间和时间中，数学概念也不存在于空间或时间中。
我们的数学直觉为数学原理提供了内在的证据。事实上，我们所有的数学知识都可以从策梅洛-弗兰克尔集合论的公理和选择公理（ZFC）中推导出来。在哥德尔看来，我们有令人信服的内在证据来证明这些公理的真理。但他也担心数学直觉可能不够强大，无法为显著超过ZFC的公理提供令人信服的证据。
在哥德尔看来，除了内在证据之外，还可能获得数学原理的外在证据。如果数学原理是成功的，那么，即使我们无法获得直观的证据，它们也可能被认为是正确的。哥德尔说：
……这里的成功意味着结果的结果，尤其是“可验证”的结果，即没有新公理可验证的结果，然而，在新公理的帮助下，新公理的证明要简单得多，更容易发现，它使许多不同的证明成为可能[…]可能存在大量的公理，在其可验证的结果中，对整个领域有如此多的启示，产生如此强大的解决问题的方法[…]以至于，无论它们是否本质上是必要的，它们必须至少在与任何公认的物理理论相同的意义上被接受。
这启发了哥德尔去寻找新的公理，这些公理可以是外在的，可以决定像连续统假设这样的问题，这些问题高度独立于ZFC。
哥德尔和希尔伯特一样坚信，所有的数学问题都有明确的答案。但是，数学哲学中的柏拉图主义不应被视为理所当然地致力于认为所有设定的理论命题都有确定的真值。例如，柏拉图主义的一些版本坚持认为，ZFC的所有定理都是通过确定的集合理论事实来实现的，但没有集合理论事实可以使某些陈述高度独立于ZFC真理确定。著名的集合理论家保罗·科恩似乎持有这样的观点。
自然主义与不可或缺性
蒯因对传统哲学进行了方法论批判。他提出了一种不同的哲学方法论，后来被称为自然主义。根据自然主义，我们最好的理论就是我们最好的科学理论。如果我们想获得哲学问题的最佳答案，比如我们知道什么？存在哪种实体？，我们不应该诉诸传统的认识论和形而上学理论。我们也应该避免从第一原理开始进行基本的认识论或形而上学的研究。相反，我们应该参考和分析我们最好的科学理论。它们包含了，尽管通常是含蓄的，我们目前对存在的东西、我们知道的东西以及我们如何知道它的最好描述。
普特南将蒯因的自然主义立场应用于数学本体论。至少自伽利略以来，我们最好的自然科学理论是用数学表达的。例如，牛顿的引力理论在很大程度上依赖于经典的实数理论。因此，对数学实体的本体论承诺似乎是我们最好的科学理论所固有的。这条推理路线可以通过引用确认整体论的蒯因命题来加强。经验证据并不能证实任何一个假设。相反，经验整体地证实了个人假设所嵌入的理论。由于数学理论是科学理论的重要组成部分，它们也被经验所证实。因此，我们对数学理论进行了实证验证。更是如此。似乎数学对于我们最好的科学理论是不可或缺的：不使用数学词汇，我们如何表达它们，这一点都不明显。因此，自然主义者的立场要求我们接受数学实体作为我们哲学本体论的一部分。这种论证被称为不可或缺的论证。
如果我们把最好的科学理论中涉及的数学从表面上看，那么我们似乎致力于某种形式的柏拉图主义。但它是一种比哥德尔的柏拉图主义更温和的柏拉图主义形式。因为自然科学似乎可以（粗略地）用实数上的函数空间来解决问题。超限集合理论的更高层次似乎与自然科学中最先进的理论基本无关。尽管如此，蒯因认为（在某种程度上）从自然主义的角度来看，ZFC假设的集合是可以接受的；它们可以被视为是我们科学理论中所涉及的数学的一个慷慨的舍入。蒯因对这件事的判断并没有被普遍接受。例如，费弗曼认为，我们目前最好的科学理论中基本上使用的所有数学理论都是可预测的。麦迪甚至认为，数学哲学中的自然主义与关于集合的非现实主义观点完全一致。
在蒯因的哲学中，自然科学是关于数学存在和数学真理的终极仲裁者。这让查尔斯·帕森斯（Charles Parsons）反对说，此图景让初等数学的显而易见有些神秘。例如，在蒯因看来，每个自然数是否都有一个后继数的问题最终取决于我们最好的经验理论；然而，不知何故，这一事实似乎比这更直接。麦迪以一种类似的精神指出，数学家们并不认为自己的活动受到自然科学的任何限制。事实上，人们可能会想，数学本身是否不应该被视为一门科学，数学的本体论承诺是否应该根据数学实践中隐含的理性方法来判断。
出于这些考虑，麦迪开始探究数学实践中隐含的存在标准，以及这些标准所遵循的数学的隐含本体论承诺。她专注于集合论，以及数学界在哪些大的基本公理可以被认为是真的问题上所带来的方法论考虑。因此，她的观点更接近哥德尔，而不是蒯因。在最近的工作中，她分离出两条准则，这两条准则似乎在指导集合论者思考新集合论原则的可接受性：统一和最大化。“统一”这句格言是对集合论的鼓动，它提供了一个单一的系统，在这个系统中，所有数学对象和数学结构都可以被实例化或建模。“最大化”这句格言意味着集合论应该采用尽可能强大且数学上富有成果的集合论原则。
平抑柏拉图主义
伯奈斯观察到，当数学家在工作时，她“天真地”以柏拉图主义的方式对待她正在处理的对象。他说，每一位在职数学家都是柏拉图主义者。但是，当数学家被一位哲学家发现不在工作时，这位哲学家向她询问自己的本体论承诺时，她往往会拖着脚，退到一个模糊的非柏拉图主义立场。一些人认为这表明，关于数学对象和数学知识的性质的哲学问题有问题。
卡尔纳普对框架内部的问题和框架外部的问题进行了区分。有人认为，卡尔纳普在某种形式上的区别，在逻辑经验主义框架的消亡之后仍然存在。泰特试图详细研究如何将由此产生的区别应用于数学。这导致了柏拉图主义的平抑版本。
根据泰特的说法，数学实体存在的问题只能从（公理化的）数学框架内合理地提出和回答。例如，如果一个人在数论中工作，那么他可以问是否存在具有给定属性的素数。这样的问题就可以在纯数学的基础上做出决定。哲学家倾向于走出数学的框架，从“外部”询问数学对象是否真的存在，数学命题是否真的存在。在这个问题上，他们是在为数学真理和存在主张寻找超数学或形而上学的依据。泰特认为，很难看出这种外部问题有什么意义。他试图将它们平抑，并将它们带回到属于它们的地方：数学实践本身。当然，在这一点上并非所有人都同意泰特的观点。林斯基和扎尔塔开发了一种系统的方法，精确地回答泰特轻蔑地处理的那种外部问题。
毫不奇怪，泰特对于哥德尔主义在数学哲学中对数学直觉的诉求，或者对于数学对象存在于“时空之外”的哲学命题，几乎毫无用处。更一般地说，泰特认为数学不需要哲学基础；他想让数学自己说话。从这个意义上说，他的立场让人想起阿瑟·费恩在科学哲学的现实主义辩论中倡导的（在某种意义上是维特根斯坦式的）自然本体论态度。
贝纳塞拉夫的认识论问题
贝纳塞拉夫为科学哲学中的各种柏拉图主义立场提出了一个认识论问题。这一论点特别针对哥德尔等数学直觉的描述。贝纳塞拉夫的论点始于这样一个前提，即我们最好的知识理论是知识的因果理论。然后要指出的是，根据柏拉图主义，抽象对象不是空间或时间上的局部化，而有血有肉的数学家是空间和时间上的局部化。我们最好的认识论理论告诉我们，数学实体的知识应该来自于这些实体的因果关系。但很难想象情况会是这样。
今天，很少有认识论者认为因果知识论是我们最好的知识论。但事实证明，在认识论理论的变化下，贝纳塞拉夫的问题是非常稳健的。例如，为了论证起见，让我们假设可靠性是我们最好的知识理论。然后问题变成了解释我们如何成功地获得关于数学实体的可靠信念。
霍德斯提出了一个贝纳塞拉夫认识论问题的语义变体。根据我们目前最好的语义理论，人类和混凝土世界之间的因果历史联系使我们的词汇能够指代物理实体和属性。根据柏拉图主义，数学指的是抽象实体。因此，柏拉图主义者欠我们一个合理的解释，说明我们（肉体的人类）是如何能够提到他们的。从表面上看，因果指称理论似乎无法为我们提供数学话语中“指称微观结构”的必要解释。
充分柏拉图主义
柏拉图主义的一个版本已经被开发出来，旨在为贝纳塞拉夫的认识论问题提供解决方案。这种立场被称为充分柏拉图主义。该理论的中心论点是，每一个逻辑上一致的数学理论都必然涉及一个抽象实体。阐述这一理论的数学家是否知道这一点在很大程度上无关紧要。通过娱乐一个一致的数学理论，数学家自动获得关于该理论主题的知识。因此，从这个观点来看，已经没有认识论问题需要解决了。
在巴拉格尔的版本中，充分柏拉图主义假设了数学宇宙的多样性，每个宇宙对应于一个一致的数学理论。因此，特别是像连续统问题（参见第5.1节）这样的问题并没有得到唯一的答案：在某些理论宇宙中，连续统假设成立，而在另一些理论宇宙中，连续统假设不成立。然而，并不是所有人都同意这种情况可以维持下去。马丁提出了一个论点，证明多个宇宙在很大程度上总是可以“累积”成一个单一的宇宙。
在林斯基和扎尔塔版本的充分柏拉图主义中，由一致的数学理论假设的数学实体正好具有该理论赋予它的数学性质。例如，与ZFC相对应的抽象实体是局部的，因为它既不能使连续统假设正确，也不能使其错误。原因是ZFC既不包含连续统假设，也不否定连续统假设。这并不意味着所有方式一致地延伸ZFC都是同等的。有些方法可能是富有成效和强大的，而另一些方法则不是这样。但该观点确实否认了某些一致的扩展ZFC的方法更可取，因为它们包含真实的原则，而其他方法包含错误的原则。
结构主义与唯名论
贝纳塞拉夫的工作促使哲学家在数学哲学中发展结构主义和唯名论理论。自20世纪80年代末以来，结构主义和唯名论的结合也得到了发展。
数字不可能是什么
似乎仅仅用一个难题来挑战柏拉图主义是不够的（第3.4节），贝纳塞拉夫提出了对集合论柏拉图主义的挑战。挑战的形式如下。
用纯集合识别自然数的方法有无数种。让我们在不丧失普遍性的情况下，将讨论限制在以下两种方式：
I:
0=∅
1={∅}
2=
3=}
⋮
II:
0=∅
1={∅}
2={∅,{∅}}
3={∅,{∅},{∅,{∅}}}
⋮
贝纳塞拉夫提出的一个简单问题是：
以下哪项仅由真实身份陈述组成：I还是II？
这个问题似乎很难回答。不难看出，如何在I的候选数和II的候选数上定义后继函数以及加法和乘法运算，从而使我们认为为真的所有算术语句都成为真。事实上，如果这是以自然的方式进行的，那么我们就得到了同构结构（在词的集合论意义上），同构结构使相同的句子成为真的（它们在元素上是等价的）。只有当我们问额外的算术问题时，比如 1∈3? 自然数的两种解释产生了不同的答案。因此，不可能两种说法都是正确的。根据I，3=} ，而根据II，3={∅,{∅},{∅,{∅}}} 如果这两种说法都是正确的，那么身份的及物性就会产生纯粹的集合论谬误。
综上所述，我们得出以下情况。一方面，似乎没有理由说明一个叙述优于另一个叙述。另一方面，这些叙述不可能都是正确的。这种困境有时被称为贝纳塞拉夫的身份识别问题。
从这个难题中得出的正确结论似乎是，无论是叙述I还是叙述II都不正确。由于将自然数简化为集合的其他合理尝试进行比较会产生类似的考虑，因此自然数似乎毕竟不是集合。此外，很明显，对于有理数和实数，也可以提出类似的论点……贝纳塞拉夫得出结论，它们也根本不是集合。
例如，哥德尔是否致力于将自然数减少到纯集合，目前还不清楚。柏拉图主义者可以支持自然数可以嵌入到集合论宇宙中的主张，同时坚持认为这种嵌入不应被视为本体论的简化。事实上，根据林斯基和扎尔塔的充足柏拉图主义理论，自然数除了我们的自然数理论（皮亚诺算术）赋予它们的属性外，没有其他属性。但柏拉图主义者似乎也必须对有理数、复数……采取类似的态度…。诚然，坚持自然数是自成一体的观点有一定的吸引力，但坚持复数也是自成一体的观点可能就不那么自然了。而且，不管怎样，即使自然数、复数……在某种意义上是不可还原为其他任何东西的，人们可能会想，也许没有其他方法来阐明它们的本质。
柏拉图式结构主义
夏皮罗对代数和非代数数学理论进行了有益的区分。粗略地说，非代数理论是一种理论，乍一看似乎是关于一个独特的模型：理论的预期模型。我们已经看到过这样的理论的例子：算术、数学分析……相比之下，代数理论并不具有关于独特模型的初步主张。例如群论，拓扑学，图论…
贝纳塞拉夫的挑战可以针对非代数理论似乎描述的对象。但他的挑战并不适用于代数理论。代数理论对数学对象本身不感兴趣；他们对数学对象的结构方面感兴趣。这让贝纳塞拉夫推测，非代数理论是否也可能如此。也许从贝纳塞拉夫的识别问题中可以得到的教训是，即使是算术也不能描述特定的数学对象，而只能描述结构关系？
夏皮罗和雷斯尼克认为，所有数学理论，甚至非代数理论，都描述结构。这种立场被称为结构主义。结构由相互处于结构关系中的位置组成。因此，衍生的数学理论描述了结构中的位置。但它们并不描述物体。例如，在这个观点上，数字3不是一个物体，而是自然数结构中的一个位置。
系统是结构的实例化。用非代数理论描述的结构的实例系统彼此同构，因此就理论而言同样好。第4.1节中描述的系统I和II可被视为自然数结构的实例。}和{∅,{∅},{∅,{∅}}}同样适合表示数字3。但都不是数字3。因为数字3在自然数结构中是一个开放的地方，这个开放的地方没有任何内部结构。系统通常包含结构属性，这些属性与它们要实例化的结构相关。
明智的身份问题是那些可以从结构内部提出的问题。这些问题可以根据结构的结构方面来回答。超越结构的身份问题没有意义。人们可以提出这样一个问题：是否3∈4，但并不令人信服：这个问题涉及一个类别错误。这个问题混合了两种不同的结构：∈是一个固定的理论概念，而3和4是自然数结构中的位置。这似乎是对贝纳塞拉夫挑战的满意回答。
在夏皮罗看来，结构在本体论上并不依赖于实例化它们的系统的存在。即使自然界中没有无限系统，自然数的结构也会存在。因此，夏皮罗所理解的结构是抽象的、柏拉图式的实体。夏皮罗的结构主义品牌通常被称为柏拉图式结构主义。
在关于集合论的教科书中，我们也发现了结构的概念。大致来说，集合论的定义为结构是有序的n+1元组由一个集合、该集合上的若干关系以及该集合的若干可分辨元素组成。但这不是数学哲学中的结构主义所想的结构概念。因为集合论的结构概念是以集合概念为前提的，根据结构主义，集合概念本身应该用结构术语来解释。或者，换一种说法，一套理论结构仅仅是一个系统，它实例化了一个在它之前就存在的结构。
尽管如此，将柏拉图式结构主义扩展到最全面的数学学科（集合论）的动机并不完全明显。回想一下，对数学学科进行结构主义理解的主要动机在于贝纳塞拉夫的识别问题。对于集合论来说，似乎很难进行识别挑战：集合通常不是用更原始的概念来定义的。
似乎柏拉图式结构主义以某种循环的方式描述了结构的概念。结构被描述为相互关联的地方，但一个地方不能独立于它所属的结构来描述。然而，这不一定是个问题。对于柏拉图式结构主义者来说，结构的概念是一个原始的概念，不能用其他更基本的术语来定义。充其量，我们可以构建数学结构的公理化理论。
但贝纳塞拉夫的认识论问题似乎仍然很紧迫。结构和结构中的位置可能不是对象，但它们是抽象的。因此，我们很自然地会想，我们是如何成功地获得关于它们的知识的。这个问题被某些哲学家视为发展数学唯名论的理由，然后将这个理论与结构主义的基本原理相协调。
无抽象实体的数学
古德曼和蒯因很早就试图硬着头皮做一个项目，在不使用抽象实体的情况下重新表述自然科学的理论。事实证明，科学理论的唯名论重建是一项艰巨的任务。蒯因就是其中之一，在最初的尝试之后放弃了它。在过去的几十年里，许多理论被提出，旨在对数学进行一次唯名论的重建。对这些观点进行了很好的批判性讨论。
在数学的唯名论重建中，具体实体必须扮演抽象实体在柏拉图式数学描述中扮演的角色，而具体关系（如部分-整体关系）必须用来模拟数学对象之间的数学关系。但问题出现了。首先，希尔伯特已经观察到，鉴于量子力学中自然的离散化，自然科学最终可能会声称只有有限多的具体实体。然而，我们似乎需要无限多的数字来扮演自然数的角色——更不用说实数了。唯名论者在哪里找到所需的具体实体集合？其次，即使假设存在无限多个具体对象，也不清楚即使是基本数学理论，如原始递归算法，是否可以通过唯名关系“模拟”。
菲尔德认真尝试对牛顿力学进行一次名物主义的重建。基本思想是这样的。菲尔德希望使用实数和实数函数的具体代理。他对空间连续体采取了现实主义的立场，并将空间区域视为与椅子和桌子一样真实的实体。他认为空间的各个区域是具体的（毕竟，它们是空间定位的）。如果我们也计算非常不连续的区域，那么牛顿空间的区域和实数的子集一样多。然后有足够多的具体实体来扮演自然数、实数和实数函数的角色。而关于实数和实数上的函数的理论，是建立牛顿力学所需要的全部。当然，对真正当代的科学理论，如量子力学，进行名物主义的重建，会更有趣。但考虑到该项目可以针对牛顿力学进行，某种程度的初步乐观似乎是合理的。
这个项目显然有其局限性。比如，从名义上来说，可以用实数来解释函数空间的理论。但是，认为沿着菲尔德的思路可以找到集合论的唯名论解释似乎有些牵强。然而，如果在其范围内取得成功，那么菲尔德的项目确实取得了一些成就。因为这意味着，至少在某种程度上，数学实体似乎毕竟是可有可无的。因此，他本可以采取重要的一步来破坏奎因的适度柏拉图主义在数学中不可或缺的论点，因为在某种程度上，数学实体似乎毕竟是可有可无的。
如果希尔伯特担心，从根本上说，我们最好的科学理论可能意味着只有有限多的具体实体，那么菲尔德的策略才有可能奏效，这是毫无根据的。如果一个人同情希尔伯特的担忧，但不相信抽象实体的存在，那么他可能会咬紧牙关，声称数学实体的数量有限，从而与初等算术的基本原理相矛盾。这导致了一种被称为超有限主义的立场。
在大多数情况下，超有限主义会像直觉主义一样导致数学修正主义。例如，人们似乎不得不说，有一个最大的自然数。从外部来看，一个假设只有一个有限的数学宇宙的理论似乎在理论上很弱，因此很可能是一致的。但伍丁提出了一个论点，声称从超有限主义的角度来看，没有理由断言超有限主义理论可能是一致的。
不管这一论点如何（这里不讨论其细节），许多人已经发现存在最大数量的断言难以接受。但拉文阐述了一种复杂的集合论超有限主义，它在数学上是非修正主义的。他详细地描述了ZFC的原理如何被视为描述确定性有限集的原理，如果这些原理被视为包括无限大的集合。
画谜结构主义
菲尔德对算术和分析的物理主义解释不仅削弱了蒯因-普特南不可或缺的论点。它也部分地回答了贝纳塞拉夫的认识论挑战。诚然，描述人类如何获得时空区域的知识并不是一项简单的任务。但至少根据许多（但不是所有）哲学家的说法，时空区域是物理上真实的。因此，我们不再需要解释血肉之躯的数学家是如何与非物质实体接触的。但贝纳瑟拉夫的身份识别问题依然存在。人们可能想知道，为什么一个时空点或区域而不是另一个时空点或区域扮演着例如π的数字。
为了应对身份认同问题，将结构主义方法与菲尔德的唯名论结合起来似乎很有吸引力。这导致了唯名论结构主义的版本，可以概括如下。让我们专注于数学分析。唯名论结构主义者否认任何具体的物理系统都是分析的唯一解释。所有满足真实分析（RA）基本原理的具体物理系统都会做得同样好。所以句子的内容ϕ分析语言的定义（大致）如下所示：
每一个使RA为真的具体系统S也使ϕ为真。
这意味着，与柏拉图式结构主义一样，只有结构方面与数学陈述的真假有关。但与柏拉图式结构主义不同的是，没有抽象结构是在具体系统之上和之外假设的。
根据画谜结构主义的观点，没有抽象结构存在于实例化它们的系统之上；结构只存在于实例化它们的系统中。因此，画谜结构主义中的名物主义有时被描述为“没有结构的结构主义”。唯名论结构主义是结构主义的一种形式。但在画谜中，结构主义并没有被唯名论结构主义所耗尽。即使是柏拉图主义的版本，它将数学视为集合论意义上的结构，也可以被视为结构主义的一种形式。
在数学话语中，非代数结构（如“自然数”）和数学对象（如“数字1”）由明确的描述所指。这有力地表明，数学符号（N，1）有一个独特的参考，而不是像画谜结构主义那样的“分布式”参考。但在画谜中，结构主义者认为，这种数学符号作为专用变量发挥作用的方式与二战口号“汤米需要他的家书”中的方式大致相同，“汤米”这个名字被选为代表一些专横的混凝土士兵，并在许多场合重复使用，但没有改变其引用。
如果希尔伯特的担忧是有充分理由的，即没有具体的物理系统使数学分析的假设成为事实，那么上述唯名论结构主义对句子内容的表述ϕ分析语言的一种解释是，这些句子的真值条件是错误的。因为对于每一个普遍量化的句子ϕ，它的释义将空洞地成为事实。因此，需要一个存在性假设，即存在可以作为RA模型的具体物理系统，以支持上述对数学陈述内容的分析。也许像菲尔德这样的建筑符合要求。
普特南很早就注意到，如果对数学句子内容的上述解释稍作修改，一个明显较弱的背景假设就足以获得正确的真值条件（普特南1967）。普特南提出了以下句子内容的模态呈现分析语言ϕ的内容：
必然地，每一个使RA为真的具体系统S也使ϕ为真。
这是一个比前面介绍的非模态渲染更有力的陈述。但这似乎同样合理。这种呈现的一个优点是，以下模态存在背景假设足以使数学陈述的真值条件正确：
有可能存在一个具体的物理系统，可以作为RA的模型。
（“可能”在这里的意思是“现在或可能是这样的”。）现在希尔伯特的担忧似乎得到了充分的解决。因为在普特南看来，数学句子的真实性不再取决于对现实世界的物理假设。
不可否认，要令人满意地说明我们如何知道这个模态存在假设得到了满足，并不容易。但人们可能希望，这项任务没有解释我们如何成功地了解抽象实体的事实那么艰巨。不应该忘记的是，这种（模态）唯名论立场的结构主义方面阻碍了贝纳塞拉夫的认同挑战。
普特南的战略也有其局限性。千原试图将普特南的策略不仅应用于算术和分析，还应用于集合论。然后，相关模态存在假设的粗略版本变成：
有可能存在可以作为ZFC模型的具体物理系统。
帕森斯指出，当需要可能的世界，其中包含具有较大超限基数的物理实体集合，或者可能太大而没有基数时，就很难将其视为可能的具体或物理系统。我们似乎没有理由相信，可能存在包含大量超限实体的物理世界。
虚构主义
根据前面的建议，普通数学的陈述在适当的情况下是正确的，即从名义上解释。现在将要讨论的关于数学的唯名论认为，所有存在的数学陈述都是错误的，仅仅因为没有数学实体。（出于同样的原因，所有通用的数学陈述都将是微不足道的真实。）
虚构主义认为数学理论就像童话和小说这样的虚构故事。数学理论描述虚构的实体，就像文学小说描述虚构的人物一样。这一立场最早在的导论章节中阐明，近年来越来越受欢迎。
这种对虚构主义者立场的粗略描述立即开启了一个问题：虚构的实体是什么样的实体。这似乎是一个深刻的形而上学本体论问题。完全避免这个问题的一种方法是否认存在虚构的实体。数学理论应该被视为参与假装游戏的邀请，在这个游戏中，我们的行为就像某些数学实体存在一样。假装或假装操作者保护他们的命题对象不被存在输出。
总之，如上所述，从虚构主义者的角度来看，数学理论并不是真的。尽管如此，数学还是被用来解释真理。因此，如果我们想得到真理，我们必须从我们提出的涉及数学的物理理论中减去一些东西。但这需要一个关于内容减法如何运作的理论。这种理论是在2014年提出的。
如果虚构主义的论点是正确的，那么数学理论必须满足的一个要求就是一致性。然而，该领域增加了第二个要求：数学必须比自然科学保守。这大致意味着，只要一个经验理论的陈述可以用数学推导出来，原则上也可以不用任何数学理论推导出来。如果不是这样的话，那么一个不可或缺的论点可能会被用来反对虚构主义。例如，数学事实上是否比物理保守，目前存在争议。夏皮罗提出了一个不完全性论点，意在反驳菲尔德的主张。
如果真的没有数学（虚构的）实体，就像一种形式的虚构主义所说的那样，那么贝纳塞拉夫的认识论问题就不会出现。与大多数形式的柏拉图主义相比，虚构主义与数学的唯名论重建有着同样的优势。但对伪装算子的吸引力意味着数学句子的逻辑形式与表面形式有所不同。如果有虚构的对象，那么数学句子的表面形式可以被视为与其逻辑形式一致。但如果它们以抽象实体的形式存在，那么贝纳塞拉夫的认识论问题就会再次出现。
贝纳塞拉夫的身份识别问题是否得到解决尚不完全清楚。一般来说，虚构主义是一种非还原论的描述。一个数学理论中的实体与另一个理论中的实体是否相同，通常由数学“故事”来决定。然而，伯吉斯正确地强调，数学与文学小说的不同之处在于，虚构人物通常仅限于一部小说，而相同的数学实体出现在不同的数学理论中。毕竟，具有相同名称的实体（例如π) 出现在不同的理论中。也许虚构者可以坚持认为，当数学家发展出一种新理论，其中出现了一个“旧的”数学实体时，所讨论的实体会变得更精确。它比以前具有更多的确定性，只要保持整体一致性就可以了。
对形式主义的典型反对似乎也适用于虚构主义。虚构者应该找到一些解释，以一种方式扩展数学理论，通常被认为比以另一种与第一种方式不兼容的方式继续数学理论更可取。通常至少有一种迹象表明，有一种正确的方法可以扩展数学理论。
专题
近年来，数学哲学的分支学科开始兴起。它们的进化方式并不是完全由关于数学本质的“大辩论”决定的。在本节中，我们将介绍其中的一些学科。
基础和集合论
许多人认为集合论在某种意义上是数学的基础。似乎几乎任何一项数学都可以在集合论中进行，尽管这样做有时会很尴尬。近年来，集合论哲学正在成为一门独立的哲学学科。这并不是说，在集合论哲学的具体辩论中，无论是从形式主义的角度还是从柏拉图主义的角度来看，它都不会产生巨大的差异。
关于集合论最适合作为数学基础的论点并非没有争议。在过去的几十年里，范畴理论已经成为这一角色的竞争对手。范畴理论是在二十世纪中旬发展起来的一种数学理论。与集合论不同，在范畴论中，数学对象的定义仅限于同构。这意味着贝纳塞拉夫的识别问题不能针对范畴理论概念和“对象”提出。同时，（大致上）在集合论中可以做的一切都可以在范畴论中做（但并不总是以自然的方式），反之亦然（同样也不总是以自然的方式）。这意味着，从结构主义的角度来看，范畴理论是提供数学基础的有吸引力的候选者。
一个从集合论开始就很重要的问题是集合和适当类之间的区别。（这个问题与范畴理论有着天然的对应关系：小范畴和大范畴之间的区别。）康托的对角论证迫使我们认识到，集合论宇宙作为一个整体不能被视为集合。康托定理表明，任何给定集的幂集（即所有子集的集）的基数大于给定集本身。现在假设集合理论宇宙形成一个集合：所有集合的集合。那么所有集合的幂集合必须是所有集合的子集。这与所有集合集合的幂集合的基数大于所有集合集合的基数这一事实相矛盾。所以我们必须得出结论，集合论的宇宙不能形成集合。
康托称之为太大而不能被视为一组不一致多重数的复数。今天，康托不一致的多重性被称为适当类。一些数学哲学家认为，适当的类仍然构成统一体，因此可以被视为一种集合。从康托主义看来，它们只是太大而无法设置的集合。然而，这种观点也存在一些问题。正如不可能存在所有集合的集合一样，出于对角化的原因，也可能不存在所有适当类的适当类。因此，正确的阶级观似乎不得不承认另外一个超正确阶级的领域，等等。出于这个原因，策梅洛声称正确的类根本不存在。这个姿势没有乍一看那么奇怪。通过仔细观察，我们可以发现，在ZFC中，人们永远不需要对太大而不能成为集合的实体进行量化（尽管存在对适当类进行量化的集合论系统）。从这个观点来看，集合论的宇宙在绝对意义上可能是无限的。它从未作为一个完整的整体存在，而是永远在增长，因此永远没有完成。这种说话方式表明，在我们试图理解潜在无限的概念时，我们被时间隐喻所吸引。毫不奇怪，这些时间隐喻会让一些数学哲学家感到极度不适。因此，同情策梅洛对集合论宇宙的潜在论解释的当代数学哲学家倾向于将这种解释中涉及的模态视为非时间的模态：这种模态的性质引起了激烈的争论。
集合论哲学中的第二个主题涉及公认的数学基本原理，即ZFC公理的正当性。一个重要的历史案例研究是选择公理在20世纪初被数学界接受的过程。本案例研究的重要性主要是因为数学界对其可接受性进行了公开和明确的讨论。在这次讨论中，接受或拒绝接受原则作为基本公理的一般原因浮出水面。在系统方面，阐述了集合概念的两个概念，旨在一次性证明ZFC的所有公理。一方面，集合的迭代概念描述了集合理论宇宙如何被认为是通过幂集运算从空集生成的。另一方面，集合的大小概念也有局限性，即每一个集合如果不是太大而不能成为一个集合，那么它就是一个集合。迭代概念很好地激发了ZFC的一些公理（例如，幂集公理），但相对于其他公理，例如替换公理。尺寸概念的局限性更好地激发了其他公理（如限制理解公理）。公平地说，似乎没有一个统一的概念可以清楚地证明ZFC的所有公理。
超越ZFC的假定公理的动机构成了集合论哲学的第三个关注点。其中一类原则是由大型基本公理构成的。如今，大基数假设实际上意味着集合论宇宙和集合论内部模型之间的某种嵌入性质。大多数情况下，大基数原则要求存在比ZFC保证存在的任何集合都大的集合。
大基本原则中较弱的原则得到了内在证据的支持（见第3.1节）。它们遵循所谓的反射原则。这些原则表明，集合论宇宙作为一个整体是如此丰富，以至于它非常类似于它的某个集合大小的初始部分。迄今为止，强大的基本原则只能得到外在的支持。例如，许多研究人员怀疑是否有可能找到支持反射原理的反射原理；然而，其他人不同意。
哥德尔希望，在这样大的基本公理的基础上，集合论最重要的开放性问题最终能够得到解决。这就是连续体问题。连续统假说是康托在19世纪末提出的。它指出，没有一个集合S太大，以至于S和自然数之间不存在一对一的对应关系，也没有一个集合S太小，以至于S和实数之间不存在一对一的对应关系。尽管付出了艰苦的努力，所有解决连续统问题的尝试都失败了。哥德尔开始怀疑连续统假设独立于公认的集合论原则（ZFC）。大约在1940年，他成功地证明了连续统假设与ZFC是一致的。几十年后，保罗·科恩证明了对连续统假设的否定也与ZFC一致。因此，哥德尔关于连续统假设独立性的猜想最终得到了证实。
但哥德尔希望大型基本公理能够解决连续统问题，结果证明是没有根据的。即使在大型基本公理的背景下，连续统假设也独立于ZFC。然而，大的基本原则已经成功地解决了连续统假设的有限版本（是肯定的）。所谓的伍丁基数的存在确保了在分析中可定义的集合要么是可数的，要么是连续体的大小。从而解决了可定义连续统问题。
近年来，人们一直致力于寻找另一种可能是合理的、可能决定连续体假说的原理。从这项研究中出现的一个更普遍的哲学问题是：为了使一个原理成为假定的数学基本公理，必须满足哪些条件？
一些试图确定连续体假说的研究人员认为这是真的；其他人则认为这是错误的。但也有许多集合论者和数学哲学家认为，连续统假设不仅在ZFC中是不可判定的，而且是绝对不可判定的，也就是说，它既不可证明（在这个词的非正式意义上），也不可反驳（在这个词的非正式意义上），因为它既不正确也不错误。例如，如果数学宇宙是一个集合论的多元宇宙，那么就有同样好的模型使连续统假设为真，同样好的模型使其为假，没有什么可说的了。
分类和多元主义
在19世纪后半叶，德德金证明了算术的基本公理在同构之前只有一个模型，而实数分析的基本公理也是如此。如果一个理论，直到同构，只有一个模型，那么它就是绝对的。所以模同构、算术和分析都有一个精确的模型。半个世纪后，策梅洛证明了集合论的原理是“几乎”范畴的或准范畴的：对于任何两种模型M1和M2集合论的原理，M1同构于M2，或M1同构于一个极难接近的M2或M2同构于一个极难接近的M1。近年来，有人试图发展一些论点，大意是策梅洛的结论可以被强化为一个完整的分类断言，但我们在这里不讨论这些论点。
同时，Löwenheim-Skolem定理指出，每个一阶形式理论至少有一个具有无限域的模型，必须有具有所有无限基数的域的模型。由于算术、分析和集合论的原理最好至少有一个无限模型，Löwenheim-Skolem定理似乎适用于它们。这与戴德金的分类定理不矛盾吗？
这个难题的解决方案在于，戴德金甚至没有隐式地处理算术和分析基本原理的一阶形式化。相反，他非正式地进行了二阶形式化工作。
让我们专注于算术，看看这意味着什么。算术的基本假设包含归纳公理。在算术的一阶形式化中，这被表述为一个方案：对于算术语言的每个一阶算术公式，一个自由变量，归纳原理的一个实例包含在算术的形式化中。基本的基数考虑表明，自然数有无穷多的性质不是用一阶公式来表示的。但直觉上，归纳原理似乎适用于自然数的所有性质。因此，在一阶语言中，数学归纳原理的全部力量无法表达。出于这个原因，一些数学哲学家坚持认为算术的假设应该用二阶语言表述。二阶语言不仅包含覆盖域元素的一阶量词，还包含覆盖域属性（或子集）的二阶量词。在完整的二阶逻辑中，人们坚持认为这些二阶量词覆盖了域的所有子集。如果算术原理是用二阶语言表述的，那么戴德金的论证就通过了，我们就有了一个范畴理论。出于类似的原因，如果我们用二阶语言表述实分析的基本原理，我们也会得到一个范畴理论，而集合论的二阶表述结果是准范畴的。
柏拉图式结构主义，以及模态唯名论结构主义对数学的解释，可以从二阶公式中受益。如果柏拉图式结构主义者想要坚持自然数结构由皮亚诺公理固定为同构，那么她将想要在二阶逻辑中表述皮亚诺公理。模态唯名论结构主义者会坚持认为，算术的相关具体系统是那些使二阶皮亚诺公理成立的系统。对于实分析和集合论也是如此。因此，对二阶逻辑的呼吁似乎是结构主义项目中隔离预期数学模型的最后一步。
然而，在数学哲学中诉诸二阶逻辑绝非没有争议。第一个反对意见是，二阶逻辑的本体论承诺高于一阶逻辑的本体论承诺。毕竟，使用二阶逻辑似乎让我们相信抽象对象的存在：类。为了解决这个问题，布洛斯阐述了对二阶逻辑的解释，避免了对抽象实体的这种承诺。他的解释从复数表达的角度阐明了二阶量词的真值从句，而没有调用类。例如，形式的二阶表达式∃xF(x)解释为：“存在一些（一阶对象）x，因此它们具有属性F”。这种解释被称为二阶逻辑的复数解释。在复数和集合的数学用法之间是否存在真正的差异，这是有争议的。然而，很明显，对二阶逻辑的复数解释的呼吁，对于结构主义的唯名论版本来说，是很有诱惑力的。
对二阶逻辑的第二个反对可以追溯到蒯因。这一异议表明，完整二阶逻辑的解释与集合理论问题有关。这一点已经被一个事实所证明，即大多数二阶逻辑的组合都采用了一个版本的选择公理作为其公理之一。但更令人担忧的是，二阶逻辑与集合论中的深层问题，如连续统假设，密不可分地交织在一起。对于算术这样的理论来说，即使是像二阶量词范围的基数问题这样基本的问题，也相当于连续统问题。此外，还证明了存在一个二阶逻辑真理的句子，当且仅当连续统假设成立。我们已经看到，连续体问题独立于目前公认的集合论原理。许多研究人员认为这是毫无价值的真理。如果是这样的话，那么二阶无限模型的概念本身就存在固有的不确定性。许多当代数学哲学家认为后者没有确定的真值。因此，有人认为，完全二阶逻辑（无限）模型的概念本身是不确定的。
如果一个人不想诉诸完整的二阶逻辑，那么还有其他方法来确保数学理论的分类性。一个想法是使用量词，它们在某种程度上介于一阶量词和二阶量词之间。例如，我们可以把“有有限多个x”当作一个原始量词。例如，这将允许人们构造算术的分类公理化。
但确保数学理论的分类性并不需要引入更强的量词。另一种选择是将算法可计算性的非正式概念作为原始概念。Tennenbaum的一个定理指出，所有一阶的Peano算术模型，其中加法和乘法是可计算函数，都是同构的。现在我们的加法和乘法运算是可计算的：否则我们永远也学不到这些运算。因此，这是另一种方法，在这种方法中，我们可以分离出我们算术原理的预期模型。然而，根据这种说法，可能需要指出的是，例如，用于实际分析的预期模型的分类性似乎无法通过这种方式得到保证。对于实分析原理模型上的计算，我们没有一个定理可以起到Tennenbaum定理的作用。
如果一个人接受算术谓词集合的某种开放性，那么在不超越一阶逻辑的边界和不诉诸非正式的可计算性概念的情况下，就可以得到算术的分类定理。假设有两位数学家，A和B，他们在各自的观点中都坚持一阶皮亚诺公理。此外，假设A和B认为数学归纳是允许的谓词集合是开放的，并且都愿意接受对方的归纳方案为真。然后，A和B有足够的资金说服自己，这两个独特的描述同构结构。这样的参数称为内部分类参数。它们在当代数学哲学中受到广泛讨论。
许多人对数学哲学中的范畴化的哲学用法持怀疑态度，认为我们所有的一致性数学理论都有许多结构上不同的模型，并把这些模型中的所有或许多模型彼此等同起来。正如我们在前面的小节中所看到的，集合论的多元宇宙观是一个恰当的例子，集合论的势论也是如此。但我们可以更进一步，捍卫这样一个论点，即任何一致的数学理论都描述了一个独立的数学宇宙，而且没有哪种理论比任何其他理论更真实。
这些理论属于一个被称为数学多元论的观点家族，这是数学哲学中一个日益突出的主题。从历史上看，这种观点来源于希尔伯特和卡纳普的作品。在与弗雷格的辩论中，希尔伯特坚持认为，一致性足以使数学理论有一个主题；卡尔纳普认为，在替代的大规模理论（框架）之间做出选择最终只不过是一个务实的问题。
与哲学中的所有情况一样，这里也存在分歧：对于数学真理是一个不可逆转的使用相对概念的学说的批评。一些人对数学多元论的反应是更进一步，并认为所有不一致的数学理论都应该被视为正确的（在相对论意义上）。此外，有些数学理论在不一致的意义上微不足道，通常被认为和许多古老的、始终如一的书一样有价值：“从历史上看，就作者所知，有三种书。”对数学和逻辑有深远影响的数学理论，被认为是微不足道的。有康托的天真集理论，弗雷格的形式逻辑理论和丘奇的形式数理逻辑理论的第一个版本。这三人都对后来的数学产生了深刻的不满”。
计算
直到最近，计算这一主题在数学哲学中还没有受到太多关注。这在一定程度上可能是因为，在数论的希尔伯特式公理化中，计算被简化为皮亚诺算术的证明。但近年来，这种情况发生了变化。看来，随着计算在数学实践中日益重要，对计算概念的哲学思考将在未来几年的数学哲学中占据更加突出的地位。
丘奇的论文在可计算性理论中占有中心地位。它说，自然数上每一个算法上可计算的函数都可以由图灵机器计算。
作为一项原则，丘奇的论点有点奇怪。这似乎是一项基本原则。一方面，这一原则几乎被普遍认为是正确的。另一方面，很难从数学上证明它。原因是它的前件包含一个非正式的概念（算法可计算性），而其后件包含一个纯粹的数学概念（图灵机可计算性）。数学证明只能连接纯粹的数学概念，或者看起来是这样。普遍的看法是，我们为丘奇的论点提供的证据是准经验的。试图找到对丘奇的论点有说服力的反例的尝试都没有成功。独立地，人们提出了各种各样的建议，用数学方法捕捉自然数上的算法可计算函数。除了图灵机可计算性之外，还提出了一般递归性、赫伯兰-哥德尔可计算性、lambda可定义性等概念。但事实证明，这些数学概念都是等价的。因此，使用哥德尔的术语，我们已经为丘奇的论点的真理积累了外在的证据。
克雷塞尔很久以前就指出，即使一篇论文不能被正式证明，也有可能从对直觉概念的严格但非正式的分析中获得其内在证据。克雷塞尔把这些练习称为非正式的严格练习。西格的详细学术研究表明，这篇开创性的文章构成了对算法可计算性的直观概念进行这种分析的一个极好的例子。
目前，基础和计算哲学领域最活跃的研究主题似乎如下。首先，我们投入了大量精力来开发关于自然数以外的结构的算法计算理论。特别是，人们已经努力获得丘奇论文的类似物，用于各种结构的算法计算。在这种背景下，近几十年来，在发展实数有效计算理论方面取得了重大进展。第二，除了人类的算法可计算性，人们还试图解释可计算性的概念。这里特别感兴趣的一个领域是量子计算领域。
数学证明
我们知道很多关于形式证明和形式可证明性的概念，它们与算法可计算性的关系，以及这些概念所遵循的原则。例如，我们知道，一个形式系统的证明是可计算枚举的，而一个健全（足够强大）的形式系统的可证明性受制于哥德尔的不完全性定理。但你在数学期刊上找到的数学证明并不是逻辑学家认为的正式证明：它是（严格的）非正式证明。
首先，虽然正式系统中可证明的句子集合总是可计算枚举的，但我们对非正式可证明概念的扩展知之甚少。卢卡斯和后来的彭罗斯认为，在任何给定的形式系统中，非正式的数学可证明性都超过了可证明性。但他们的论点被普遍认为缺乏说服力。贝纳塞拉夫反对卢卡斯和彭罗斯，认为不能排除存在正式制度T事实上，数学上的可证明性在很大程度上与T，尽管我们不知道它是真的。其他人则认为，非正式数学可证明性的概念甚至不够清晰，无法回答其扩展是否可计算枚举以获得明确答案的问题。
第二，对于一个论点是否符合数学证明的标准，人们没有达成一致意见。根据所谓的接受观点，一个陈述的数学论证P如果论证允许一位称职的数学家将其转化为一个正式的数学推导，则构成一个非正式的数学证明P来自公认的数学公理。然后，一个非正式的数学证明可以被视为P。但近年来，人们对数学证明标准的普遍看法受到了攻击。例如，有人认为，在非正式的数学证明中插入理由，直到达到逻辑正确且非椭圆的一阶导数，可能是一个无限过程。其他人则在为所接受的观点进行辩护，因此目前就这些问题展开了热烈的辩论。
在过去的几十年里，计算机似乎在数学证明中发挥了重要作用。四色定理就是一个例子。它说，每一张地图只需要四种颜色就可以给国家上色，这样就不会有两个有共同边界的国家得到相同的颜色。这个定理在1976年被证明。但这一证据区分了许多经过计算机验证的案例。这些计算机验证太长，人类无法进行双重检查。四色定理的证明引发了一场争论，关于计算机辅助证明在多大程度上可以算作真正意义上的证明。
人们普遍认为数学证明产生先验知识。然而，当我们依靠计算机生成部分证据时，我们似乎依赖于计算机硬件的正常运行和计算机程序的正确性。这些似乎是经验因素。因此，人们很容易得出这样的结论：计算机证明产生准经验知识。换句话说，随着计算机证明的出现，证明的概念已经失去了纯粹的先验性质。相比之下，伯尔格认为，因为我们接受计算机证明时所依赖的经验因素并不是论证的前提，所以计算机证明毕竟可以产生先验知识。
未来
在二十世纪，数学哲学的研究主要围绕着数学对象的性质、支配它们的基本规律，以及我们如何获得关于它们的数学知识。这些是与传统形而上学和认识论问题密切相关的基本问题。
在二十世纪下半叶，科学哲学的研究在很大程度上脱离了基础问题。相反，与科学知识和科学理解的增长有关的哲学问题变得更加重要。早在20世纪70年代，就有人认为数学哲学也应该发生类似的注意力转移。拉卡托斯发起了数学概念演变的哲学研究。他认为，数学概念的内容大致按照以下方式演变。数学家提出了一个很深的猜想，但却无法证明它。然后找到了与该猜想相反的反例。作为回应，猜想中一个或多个中心概念的定义被改变，至少消除了反例。然而，这样修正的猜想仍然无法被证明，新的反例也逐渐出现。修正一个或多个中心概念的定义的过程被反复应用，直到找到猜想的证明。拉卡托斯称这一过程为概念延伸。近几十年来，拉卡托斯的数学概念变化模型得到了修正和完善。
几十年来，数学哲学应该进行历史和社会学转向的观点仍然局限于数学哲学中的一个边缘学派。然而，近年来，这种新的数学实践运动与“主流”数学哲学之间的对立正在减弱。与数学实践、数学理论的演变以及数学解释和理解有关的哲学问题变得更加突出，并且与数学哲学中更传统的主题有关。这一趋势无疑将在未来几年继续下去。
例如，让我们简单地回到计算机证明的主题（见第5.3节）。数学家在面对计算机证明时感到不适的原因似乎如下。一个“好的”数学证明应该不仅仅是让我们相信某个陈述是正确的。它还应该解释为什么有关声明成立。这是通过引用深层数学概念之间的深层关系来实现的，这些概念通常连接不同的数学领域。直到现在，计算机证明通常只使用相当低级的数学概念。众所周知，他们自己在发展深层概念方面很弱，并且很难将不同数学领域的概念联系起来。所有这些都将我们引向一个哲学问题，这个问题刚刚开始受到应有的关注：什么是数学理解？
